當n爲奇數時，由1+2+3+...+N與s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N
=N+N+N+...+N加或減去所有添加的二項式展開式數
=(1+N)N減去所有添加的二項式展開式數。
當n爲偶數時，由1+2+3+...+N與s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N
=2N+2[(N-2)+(N-4)+(N-6)+...0或1]加或減去所有添加的二項式展開式數
又當n爲偶數時，由1+2+3+...+N與s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=[N+1]+[(N-1)+2]+[(N-2)+3]+...+[(N-N-1)+(N-1)]
=2[(N-1)+(N-3)+(N-5)+...0或1]加或減去所有添加的二項式展開式數，合併n爲偶數時2S的兩個計算結果，可以得到s=N+(N-1)+(N-2)+...+1的計算公式。
其中，所有添加的二項式展開式數，按下列二項式展開式確定，如此可以順利進行自然數的1至n冪的求和公式的遞進推導。
