不是所有周期函數都有最小正週期。周期函數f（x）的週期T是與x無關的非零常數，存在沒有最小正週期的函數，而這個函數就是狄利克雷函數。
狄利克雷函數（是一個定義在實數範圍上、值域不連續的函數。狄利克雷函數的圖像以Y軸爲對稱軸，是一個偶函數，它處處不連續，處處極限不存在，不可黎曼積分。
實數域上的狄利克雷（Dirichlet）函數表示爲：
（k，j爲整數）也可以簡單地表示分段函數的形式D(x)= 0（x是無理數）或1（x是有理數）
假設f(x)=0，x爲無理數
f(x)=1，x爲有理數
由有理數和無理數的運算法則可以知道，所有的有理數與有理數的和都是有理數，與無理數的和都是無理數。
那麼對於這個函數而言，取T爲任意有理數，就都滿足了，無論x是有理數還是無理數，這就意味着狄利克雷就是一個周期函數。它的最小正週期是最小的有理數，而顯然是不存在最小的有理數的，因而這個函數也就沒有最小正週期了。
