一階線性遞推數列主要有如下幾種形式：
1、
這類遞推數列可透過累加法而求得其通項公式(數列{f(n)}可求前n項和).
當爲常數時，透過累加法可求得等差數列的通項公式．而當爲等差數列時，則爲二階等差數列，其通項公式應當爲形式，注意與等差數列求和公式一般形式的區別，後者是，其常數項一定爲0．
2、
這類遞推數列可透過累乘法而求得其通項公式(數列{g(n)}可求前n項積).
當爲常數時，用累乘法可求得等比數列的通項公式．
3、
這類數列通常可轉化爲，或消去常數轉化爲二階遞推式.
例1已知數列中，，求的通項公式．
解析：解法一：轉化爲型遞推數列．
∵∴又，故數列｛｝是首項爲2，公比爲2的等比數列．∴，即．
解法二：轉化爲型遞推數列．
∵=2xn-1+1(n≥2)①∴=2xn+1②
②－①，得(n≥2)，故｛｝是首項爲x2-x1=2，公比爲2的等比數列，即，再用累加法得．
解法三：用迭代法．
當然，此題也可用歸納猜想法求之，但要用數學歸納法證明．
例2已知函數的反函數爲
求數列的通項公式.
解析：由已知得，則．
令=，則.比較係數，得.
即有．∴數列｛｝是以爲首項，爲公比的等比數列，∴，故．
評析：此題亦可採用歸納猜想得出通項公式，而後用數學歸納法證明之．
（4）
若取倒數，得，令，從而轉化爲（1）型而求之.
（5）
這類數列可變換成，令，則轉化爲(1)型一階線性遞推公式.
例3設數列求數列的通項公式．
解析：∵，兩邊同除以，得．令，則有．於是，得，∴數列是以首項爲，公比爲的等比數列，故，即，從而．
例4設求數列的通項公式．
解析：設用代入，可解出．
∴是以公比爲-2，首項爲的等比數列．
∴
即．
（6）
這類數列可取對數得，從而轉化爲等差數列型遞推數列.
二、可轉化爲等差、等比數列或一些特殊數列的二階遞推數列
例5設數列求數列的通項公式．
解析：由可得
設
故即用累加法得
或
例6在數列求數列的通項公式．
解析：可用換元法將其轉化爲一階線性遞推數列．
令使數列是以 爲公比的等比數列(待定)．
即∴對照已給遞推式， 有即的兩個實根．
從而
∴①
或②
由式①得由式②得．
消去．
例7在數列求．
解析：由①，得②．
式②+式①，得，從而有．∴數列是以6爲其週期．故==-1．
三、特殊的n階遞推數列
例8已知數列滿足，求的通項公式．
解析：∵ ①
∴ ②
②－①，得．∴故有
將這幾個式子累乘，得
又
例9數列｛｝滿足，求數列｛｝的同項公式．
解析：由 ①，得 ②．
式①－式②，得，或，故有.
∴，.
將上面幾個式子累乘，得，即．
∵也滿足上式，∴
