定義
雙曲函數（hyperbolic function）可藉助指數函數定義[1]
雙曲正弦：
雙曲餘弦：
雙曲正切：
雙曲餘切：
雙曲正割：
雙曲餘割：
推導方法爲：w=asinh(z)，則z=sinh(w)=(exp(w)-exp(-w))/2，和實數範圍內的相似，但注意此時它們是多值函數。
y=(exp(x)-exp(-x))/2，令x，y互換，得到x=(exp(y)-exp(-y))/2，設t=exp(y)，則有x=(t-1/t)/2，即t^2-2xt-1，由於t>0，故t=x+(x^2+1)^0.5，y=ln(t)=ln(x+(x^2+1)^0.5)。
在複數範圍內sinh(z)=(exp(z)-exp(-z))/2，cosh(z)=(exp(z)+exp(-z))，asinh(z)=ln(z+(z^2+1)^0.5)，acosh(z)=ln(z+(z^2-1)^0.5)。
