1、 一個超級好用的性質
當通項Un的極限≠0時，則該級數發散。
（但是，當通項Un的極限＝0時，得不到任何資訊）
2、 比較審斂法判斷級數斂散性
（1）放縮法
若級數的分子或者分母中，有+1、-1、sinx、cosx……，記得使用放縮的思想，找到比原級數大或者小的級數。
（2）已知級數通項/未知級數通項，來比較大小
利用等價無窮小的思想，來找到這個未知的級數。常見的就是那三種特殊的級數。
以上，都是大收小收，小發大發。
3、 比值審斂法判斷級數斂散性
遇到級數中有n！、2^n、n^2等，記得使用比值審斂法來做。
一、判定正項級數的斂散性二、判定交錯級數的斂散性三、求冪級數的收斂半徑、收斂區間和收斂域四、求冪級數的和函數與數項級數的和五、將函數展開爲傅里葉級數。
一、判定正項級數的斂散性
1、先看當n趨向於無窮大時，級數的通項是否趨向於零（如果不易看出，可跳過這一步）。若不趨於零，則級數發散如果趨於零，則考慮其它方法。
2、再看級數是否爲幾何級數或p級數，因爲這兩種級數的斂散性是已知的，如果不是幾何級數或p級數
3、用比值判別法或根值判別法進行判別
4、再用比較判別法或其極限形式進行判別，用比較判別法判別，一般應根據通項特點猜測其斂散性，然後再找出作爲比較的級數，常用來作爲比較的級數主要有幾何級數和p級數等.
二、判定交錯級數的斂散性
1、利用萊布尼茨判別法進行分析判定.
2、利用絕對級數與原級數之間的關係進行判定.
3、一般情況下，若級數發散，級數未必發散但是如果用比值法或根值法判別出絕對級數發散，則級數必發散.
4、有時可把級數通項拆分成兩個，利用“收斂+發散=發散”“收斂+收斂=收斂”判定.
三、求冪級數的收斂半徑、收斂區間和收斂域
1、若級數冪次是按x的自然數順序遞增，則其收斂半徑由或求出，進而可以寫出收斂區間，再考慮區間端點處數項級數的斂散性可得冪級數的收斂域.
2、對於缺項冪級數或x的函數的冪級數，可根據比值判別法求收斂半徑，也可作代換，換成t的冪級數，再求收斂半徑.
四、求冪級數的和函數與數項級數的和
1、求冪級數的和函數主要先透過冪級數的代數運算、逐項微分、逐項積分等性質將其化爲幾何級數的形式，再求和.
2、求數項級數的和，可利用定義求出部分和，再求極限或轉化爲冪級數的和函數在某點的函數值.
五、將函數展開爲傅里葉級數
將函數展開爲傅里葉級數時需根據已有公式求出傅里葉係數，這時可根據函數的奇偶性簡化係數的計算，然後再根據收斂性定理寫出函數與其傅里葉級數之間的關係
