蝴蝶定理(Butterfly Theorem):設M爲圓內弦PQ的中點,過M作弦AB和CD。設AD和BC各相交PQ於點X和Y,則M是XY的中點。
蝴蝶定理的證明
該定理實際上是射影幾何中一個定理的特殊情況,有多種推廣(詳見定理推廣):
1、 M作爲圓內弦的交點是不必要的,可以移到圓外。
2、 圓可以改爲任意圓錐曲線。
3、 將圓變爲一個箏形,M爲對角線交點。
4、 去掉中點的條件,結論變爲一個一般關於有向線段的比例式,稱爲“坎迪定理”, 不爲中點時滿足:,這對1, 2均成立。
蝴蝶定理是古代歐氏平面幾何中最精彩的結果之一,這個命題最早出現在1815年,由W.G.霍納提出證明。而“蝴蝶定理”這個名稱最早出現在《美國數學月刊》1944年2月號,題目的圖形像一隻蝴蝶。這個定理的證法不勝枚舉,至今仍然被數學愛好者研究。
蝴蝶定理(Butterfly Theorem):設M爲圓內弦PQ的中點,過M作弦AB和CD。設AD和BC各相交PQ於點X和Y,則M是XY的中點。
去掉中點的條件,結論變爲一個一般關於有向線段的比例式,稱爲“坎迪定理”,不爲中點時滿足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP,這對2,3均成立。
設弦AB的中點爲M,過M 作弦CD,EF,連EC,DF交AB於G,H,則GM=GF。這是蝴蝶定理,下面證明。
※先給出一個關於面積的定理:
△ABC的面積=(1/2)×AB×AC×sinA
證明:設△EGM、△DHM、△MHF、△MCG的面積分別爲S1、S2、S3、S4,則
S1=(1/2)ME×MGsin∠EMG=(1/2)EG×EMsin∠E
S2=(1/2)MH×MDsin∠DMH=(1/2)MD×DBsin∠D
S3=(1/2)MH×MFsin∠HMF=(1/2)BF×FMsin∠F
S4=(1/2)MG×MCsin∠GMC=(1/2)CM×CGsin∠C
其中從∠EMG=∠HMF,∠DMH=∠GMC,∠E=∠D,∠F=∠C
∴sin∠EMG=sin∠HMF,sin∠DMH=sin∠GMC
sin∠E = sin∠D, sin∠F = sin∠C
∵(S1/S2)×(S2/S3)×(S3/S4)×(S4/S1)=1
∴{[(1/2)ME×MGsin∠EMG]/[(1/2)MH×MDsin∠DMH]}×
{[(1/2)MD×DBsin∠D]/[(1/2)MH×MFsin∠HMF]}×
{[(1/2)BF×FMsin∠F]/[(1/2)CM×CGsin∠C]}×
{[(1/2)MG×MCsin∠GMC]/[(1/2)EG×EMsin∠E]} =1
整理後:
(MG的平方/MH的平方)×(DB×BF)/(EG×CG)=1…①
令(1/2)AB=a,MG=m,MH=n.由相交弦定理:
DB×BF=BH×AH=(a-n)(a+n),EG×CG=(a-m)(a+m),代入①
並整理得:(am)的平方=(an)的平方,∵a≠0,∴m=n
即,MG=MH