泛函主要將幾何和數論結合起來，而且還把這些概念和方法幾何化了。比如，不同類型的函數可以看作是“函數空間 ”的點或矢量，這樣最後得到了“抽象空間”這個一般的概念。它既包含了以前討論過的幾何對象，也包括了不同的函數空間。我們學過巴拿赫空間、希爾伯特空間。
泛函分析對於研究現代物理學是一個有力的工具。n維空間可以用來描述具有n個自由度的力學系統的運動，實際上需要有新的數學工具來描述具有無窮多自由度的力學系統。作爲分析變化條件較多的動力學問題就十分有用。比如樑的震動問題就是無窮多自由度力學系統的例子。一般來說，從質點力學過渡到連續介質力學，就要由有窮自由度系統過渡到無窮自由度系統。現代物理學中的量子場理論就屬於無窮自由度系統。
