韋達定理說明了一元二次方程中根和係數之間的關係。
法國數學家弗朗索瓦·韋達於1615年在著作《論方程的識別與訂正》中建立了方程根與係數的關係,提出了這條定理。由於韋達最早發現代數方程的根與係數之間有這種關係,人們把這個關係稱爲韋達定理。
一元三次方程的一般形式是
x3+sx2+tx+u=0
如果作一個橫座標平移y=x+s/3,那麼我們就可以把方程的二次項消
去。所以我們只要考慮形如
x3=px+q
的三次方程。
假設方程的解x可以寫成x=a-b的形式,這裏a和b是待定的參數。
代入方程,我們就有
a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
整理得到
a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
這裏的a和b理論上有無窮個取值
於是我們一定可以找到這樣的a和b
滿足x=a-b
且p+3ab=0
a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
化爲a3-b3=q
兩邊各乘以27a3,就得到
27a6-27a3b3=27qa3
由p=-3ab可知
27a6 +p^3 = 27qa3
這是一個關於a3的二次方程,所以可以解得a。進而可解出b和根x。