我認爲不能。
回答這個問題，我們從內、外兩個方面進行分析。
蒙哥是成吉思汗之孫，成吉思汗嫡四子拖雷的嫡長子，元世祖忽必烈的哥哥。爲了爭奪汗位，蒙古帝國一直以來就內部紛爭不斷。成吉思汗去世後，他和長妻孛兒帖的嫡三子窩闊臺繼位，窩闊臺的長子貴由體質不強，只當了三年大汗就死於酒色之中，他的孫子失烈門被推舉上臺，但很快，1250年的忽裏臺大會上，蒙哥在拔都等宗王的支援下被推舉爲汗，但窩闊臺、察合臺兩家的很多宗王不肯應召。爲了鞏固汗位，蒙哥及蒙哥的母親、皇太后唆魯禾帖尼采取了鐵血手段嚴酷鎮壓。汗位繼承，便由窩闊臺家族轉移到了拖雷家族。
皇族內部的分裂，也預示着後來大蒙古國的徹底分裂。1259年蒙哥死後，他的兩個弟弟忽必烈和阿里不哥皆先後自稱大汗，並且進行了兩年的大戰，最後由忽必烈獲勝。之前成吉思汗分封的諸王選擇支援不同的陣營，最後在被征服地區建立了被稱爲“四大汗國”的欽察汗國、察合臺汗國、伊利汗國和窩闊臺汗國等實際上獨立的國家。即使蒙哥不死，在成吉思汗去世後，有着諸多野心勃勃且實力強大的血親宗王，蒙古帝國的分裂是早晚會爆發的。蒙古的部落體制和分家制度，使得其由早期的迅猛擴張陷入了內耗之中。在這種情況之下，還想讓宗王們團結一心打下歐洲，幾乎是不可能的。
對外，當年的蒙古大軍戰力雖強，但打下歐洲難度仍然非常大。首先我們要確定的一件事，就是蒙哥時期的蒙古大軍已經不是成吉思汗的鐵騎了，蒙哥是成吉思汗的孫子，他的叔叔貴由執政時期的腐敗現象層出不窮，蒙古軍的戰力已經不比從前，忽必烈在位時期，攻打日本、越南、爪哇均遭失敗，也側面證實了戰力的下降。
就基礎的人口來算， 1252年，蒙古約有1000萬人，而當時的歐洲人數幾乎是他們的2.5倍。更何況，蒙古是對外侵略，歐洲則是在自己的國土上作戰，必然擁有地利。當時的英國、法國、德國等國家的實力都很強，國王也絕非兩宋末代皇帝在武力上的軟弱，英國國王愛德華一世號稱“殘忍的愛德華”，征服了威爾士，完備了英國的各個兵種法國的路易九世綽號“完美怪物”，被稱爲歐洲君主的典範，發起了第七、第八次十字軍東征。歐洲還有中世紀權勢正盛的基督教加持。除此之外，一旦歐洲人在外敵威脅下被迫團結起來，蒙古人是討不到好處的。
最後一點是，蒙古即便打下了歐洲，也守不住歐洲，不能實現真正的“征服”。蒙古軍一直以來一路燒殺搶掠，幾乎不注重可持續發展，與中國對比，南宋滅亡後，蒙古在中原盤踞了九十年，最終被明朝打回北方，元朝滅亡。
肯定不能征服。
因爲在當時蒙哥涵雖然實力非常強大，不過蒙古的軍隊並不適合到歐洲去作戰，冬天來了牛羊沒有草料，無法形成戰鬥力，所以無法征服。
