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虛數就是形如a+b*i的數，b是實數，且b≠0，後來發現虛數a+b*i的實部a可對應平面上的橫軸，虛部b與對應平面上的縱軸，這樣虛數a+b*i可與平面內的點(a，b)對應。可以將虛數bi添加到實數a以形成形式a + bi的複數，其中實數a和b分別被稱爲複數的實部和虛部。
把形如z=a+bi（a，b均爲實數）的數稱爲複數，其中a稱爲實部，b稱爲虛部，這個複數可以視爲實數當z的虛部不等於零時，常稱z爲純虛數。複數域是實數域的代數閉包，即任何復係數多項式在複數域中總有根。
一、虛數的定義：將偶指數冪是負數的數定義爲純虛數。所有的虛數都是複數。定義爲i²但是虛數是沒有算術根這一說的，所以±√(-1)=±i。對於z=a+bi，也可以表示爲e的iA次方的形式，其中e是常數，A爲虛數的幅角，即可表示爲z=cosA+isinA。實數和虛數組成的一對數在複數範圍內看成一個數，虛數沒有正負可言。不是實數的複數
二、複數的定義：數集拓展到實數範圍內，仍有些運算無法進行（比如對負數開偶數次方），在實數域上定義二元有序對z=(a，並規定有序對之間有運算"b)，z2=(c，d))：z1+ z2=(a+c，b+d)z1× z2=(ac-bd，bc+ad)容易驗證，這樣定義的有序對全體在有序對的加法和乘法下成一個域，我們有z=(a，0)令f是從實數域到複數域的映射，f(a)=(a，則這個映射保持了實數域上的加法和乘法，因此實數域可以嵌入複數域中，可以視爲複數域的子域。則根據定義的運算，b)=(a，0)=a+bi，1)=(-1，0)=-1。
