兩圓相交必有兩個交點證明
在同一平面內兩圓的位置關係有內含(圓心距小於兩圓半徑差)，內切(圓心距等於兩半徑差)，相交，外切(圓心距等於兩半徑和)和外離(圓心距大於兩半徑和)。設兩圓相交時圓心距d，則d大於兩圓半徑差，小於兩圓半徑和。兩圓半徑與圓心距構成三角形。由於圓是軸對稱圖形，則關於連心線必有對稱三角形，也是兩圓的公共點有兩個，所以兩圓相交必有兩個交點。
假設
半徑為R的圓心為A，座標為(x，y)
半徑為S的圓心為B，座標為(a，b)
兩圓交點為C，D
AB與CD的交點為E，座標為(X0，Y0)
過C點垂線與過E點水平線交點為F
令L為AB長度，K1為線AB的斜率，K2為線CD的斜率
則L=√[(a-x)²+(b-y)²]
K1=(b-y)/(a-x)
K2=-1/K1
CE²=R²-AE²
CE²=S²-EB²=S²-(AB-AE)²=S²-(L-AE)²=S²-L²-AE²+2LAE²
故AE=(R²-S²+L²)/2L
AE/L=(R²-S²+L²)/2L²
X0=x+(a-x)AE/L
=x+(a-x)(R²-S²+L²)/(2L²)
Y0=y+K1(X0-x)
R2=CE²= R²-(X0-x)²-(Y0-y)²
R2=CF²+EF²=(K2EF)²+EF²=(1+K2²)EF²
故EF=√[R2/(1+K2²)]
所以，C，D座標計算公式為
Xc=X0-EF
=X0-√[R2/(1+K2²)]
Yc=Y0+K2(Xc-X0)
Xd=X0+EF
=X0+√[R2/(1+K2²)]
Yd=Y0+K2(Xd-X0)
設交點連線為AB 則兩圓心到A，B兩點的距離分別相等 所以，兩圓心的連線垂直平分AB 即 兩圓相交，交點的連線與兩圓心的連線互相垂直
