無理數是實數中不能精確地表示為兩個整數之比的數，即無限不迴圈小數。如圓周率、2的平方根等。無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯索斯發現。超越數是不能滿足任何整係數代數方程的實數。
無理數
在數學中，無理數是所有不是有理數字的實數，後者是由整數的比率（或分數）構成的數字。當兩個線段的長度比是無理數時，線段也被描述為不可比較的，這意味著它們不能“測量”，即沒有長度（“度量”）。
常見的無理數有：圓周長與其直徑的比值，尤拉數e，黃金比例φ等等。
可以看出，無理數在位置數字系統中表示（例如，以十進位制數字或任何其他自然基礎表示）不會終止，也不會重複，即不包含數字的子序列。例如，數字π的十進位制表示從3.141592653589793開始，但沒有有限數字的數字可以精確地表示π，也不重複。必須終止或重複的有理數字的十進位制擴充套件的證據不同於終止或重複的十進位制擴充套件必須是有理數的證據，儘管基本而不冗長，但兩種證明都需要一些工作。數學家通常不會把“終止或重複”作為有理數概念的定義。
超越數
超越數是不能作為有理係數多項式方程的根的數，即不是代數數的數。因為尤拉說過：“它們超越代數方法所及的範圍之外。（1748年）”而得名。
1844年，法國數學家劉維爾首先證明了超越數的存在性。厄米特與林德曼先後證明了e與π為超越數。
超越數和無理數區別
超越數是不能滿足任何整係數代數方程的實數。超越數加減乘除一個無理數仍然是一個超越數，所以無理數和超越數雖然都是無窮個，但是超越數的階大於無理數的階。
超越數是無理數的子集。 大多數無理數是超越數。
