我认为不能。
回答这个问题，我们从内、外两个方面进行分析。
蒙哥是成吉思汗之孙，成吉思汗嫡四子拖雷的嫡长子，元世祖忽必烈的哥哥。为了争夺汗位，蒙古帝国一直以来就内部纷争不断。成吉思汗去世后，他和长妻孛儿帖的嫡三子窝阔台继位，窝阔台的长子贵由体质不强，只当了三年大汗就死于酒色之中，他的孙子失烈门被推举上台，但很快，1250年的忽里台大会上，蒙哥在拔都等宗王的支持下被推举为汗，但窝阔台、察合台两家的很多宗王不肯应召。为了巩固汗位，蒙哥及蒙哥的母亲、皇太后唆鲁禾帖尼采取了铁血手段严酷镇压。汗位继承，便由窝阔台家族转移到了拖雷家族。
皇族内部的分裂，也预示着后来大蒙古国的彻底分裂。1259年蒙哥死后，他的两个弟弟忽必烈和阿里不哥皆先后自称大汗，并且进行了两年的大战，最后由忽必烈获胜。之前成吉思汗分封的诸王选择支持不同的阵营，最后在被征服地区建立了被称为“四大汗国”的钦察汗国、察合台汗国、伊利汗国和窝阔台汗国等实际上独立的国家。即使蒙哥不死，在成吉思汗去世后，有着诸多野心勃勃且实力强大的血亲宗王，蒙古帝国的分裂是早晚会爆发的。蒙古的部落体制和分家制度，使得其由早期的迅猛扩张陷入了内耗之中。在这种情况之下，还想让宗王们团结一心打下欧洲，几乎是不可能的。
对外，当年的蒙古大军战力虽强，但打下欧洲难度仍然非常大。首先我们要确定的一件事，就是蒙哥时期的蒙古大军已经不是成吉思汗的铁骑了，蒙哥是成吉思汗的孙子，他的叔叔贵由执政时期的腐败现象层出不穷，蒙古军的战力已经不比从前，忽必烈在位时期，攻打日本、越南、爪哇均遭失败，也侧面证实了战力的下降。
就基础的人口来算， 1252年，蒙古约有1000万人，而当时的欧洲人数几乎是他们的2.5倍。更何况，蒙古是对外侵略，欧洲则是在自己的国土上作战，必然拥有地利。当时的英国、法国、德国等国家的实力都很强，国王也绝非两宋末代皇帝在武力上的软弱，英国国王爱德华一世号称“残忍的爱德华”，征服了威尔士，完备了英国的各个兵种法国的路易九世绰号“完美怪物”，被称为欧洲君主的典范，发起了第七、第八次十字军东征。欧洲还有中世纪权势正盛的基督教加持。除此之外，一旦欧洲人在外敌威胁下被迫团结起来，蒙古人是讨不到好处的。
最后一点是，蒙古即便打下了欧洲，也守不住欧洲，不能实现真正的“征服”。蒙古军一直以来一路烧杀抢掠，几乎不注重可持续发展，与中国对比，南宋灭亡后，蒙古在中原盘踞了九十年，最终被明朝打回北方，元朝灭亡。
肯定不能征服。
因为在当时蒙哥涵虽然实力非常强大，不过蒙古的军队并不适合到欧洲去作战，冬天来了牛羊没有草料，无法形成战斗力，所以无法征服。
