答案是:
任取三角形ABC,取重心G。連接AG,BG,CG。延長AG交BC於D,延長BG交AC於E,延長CG交AB於F。證明:AG:GD=2:1。
∵三角形重心是三角形三邊中線交點
∴AD,BE,CF均為三角形ABC的中線
延長AD至M使得DM=GD
連接CM
∵D為BC中點
∴BD=CD
又∵DM=GD(已知)
      ∠BDG=∠CDM(對頂角相等)
∴△BDG≌△CDM(SAS)
∴∠BGD=∠CMD
∴BG∥MC(內錯角相等,兩直線平行)
即GE∥MC
∴∠AGE=∠AMC(兩直線平行,同位角相等)
又∵∠GAE=∠MAC
∴△AGE∽△AMC
∴AG/AM=AE/AC
∵E為AC中點
∴AE=½AC
即AE/AC=½
∴AG/AM=½
即AG=½AM
∴GM=AM-AG=AM-½AM=½AM
∴AG=GM
∵GD=DM
又∵GD=GM-DM
∴GD=DM=½GM=½AG
即AG:GD=2:1
這是一道幾何證明題。
已知:三角形ABC中,AL、BM、CN分別是BC、CA、AB的中線。三線交點為G。
求證:AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1.
證明:延長GL,並在延長線上取點D,使GL=LD 。因為四邊形BDCG的對角線互相平分,所以BDCG是平行四邊形。BG∥DC,即GM∥DC。M是AC的中點,因此G是AD的中點,即AG=GD=GL+LD=2GL
因此AG﹕GL=2﹕1同理可證: BG﹕GM=2﹕1CG﹕GN=2:1。
連接兩個中點,得到該三角形的中位線,根據三角形的中位線平方於第三邊,且等於第三邊的一半,再根據平行線分線段成比例定理,便可證明。